§1.8.1 充分条件与必要条件
教学目标：
1.理解推断符号“”的含义。
2.理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用。
3.培养学生的逻辑推理能力。
教学重点：
充分条件、必要条件的判断。
教学难点：
理解充分条件、必要条件的判断方法。
教具准备：
多媒体教案。
教学过程：
一、 复习回顾
1、命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系：
3.前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假：
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（1）若a>b,则ac>bc;
(2)若a>b,则a+c>b+c;
(3)若x≥0,则x2≥0;
(4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。
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答：命题（1）为假；命题（2）、（3）、（4）为真。
本节将在判断“若 p则q”命题的真假的基础上，研究p是q成立的充分条件还是必要条件问题。
二、新课 §1.8.1 充分条件与必要条件
1.推断符号“”的含义：
例如命题（2）、（3）、（4）为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”。
又例如命题（1）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q”。
请同学用推断符号“Þ”写出上述命题。
答：（1）a>b ac>bc； (2)a>bÞa+c>b+c；
(3)x≥0Þx2≥0； （4）两三角形全等Þ两三角形面积相等。
2.充分条件与必要条件
下面给出充分条件与必要条件的定义。
一般地，如果已知pÞq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
由上述定义中，“pÞq”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解。但同时说q是p的必要条件是为什么呢？请同学们讨论。
（不很理解的较多，特别是q是结论，怎么又变为条件呢？）
应注意条件和结论是相对而言的。由“pÞq”等价命题是“┐qÞ┐p”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了。但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立。
回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系。
（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”的必要条件。
（3）中：“x≥0”是“x2≥0”的充分条件；“x2≥0”是“x≥0”的必要条件。
（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件。
“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。
3.从集合角度理解：
①p q，相当于，即 P Q 或 P、Q
即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行。
②q p，相当于，即 Q P 或 P、Q
即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P——缺它不行。
qp等价于。
*（下一课时）③p q，相当于P=Q，即 P 、Q
即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物。
例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
（1）p：x=y；q：x2=y2;
(2)p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；
（3）p：x=1或x=2,q:x2-3x+2=0；
(4) p：x=2或x=3,q:x-3= .
答：（1）因x=yÞx2=y2,即pÞq.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。
（2）因三角形的三条边相等Þ三角形的三个角相等，即pÞq。
所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。
又因：三角形的三个角相等Þ三角形的三条边相等，即qÞp。
则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。
（3）因x=1或x=2Þx2-3x+2=0,即pÞq。
则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
又因 -3x+2=0Þx=1或x=2.
则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。
（4）因x=2或x=3Þx-3= ,但x-3= Þx=2或x=3.
即p q，而qÞp。所以q是p的充分条件，p是q的必要条件。
由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为几类？请同学讨论。
可分为四类：（1）充分不必要条件，即pÞq,而q p;(2)必要不充分条件，即pq,而p q;(3)既充分又必要条件，即pÞq，又有qÞp;(4)既不充分也不必要条件，即p q，又有q p。
*4、探讨下列生活中名言名句的充要关系。
（1）水滴石穿
（2）骄兵必败
（3）有志者事竞成
（4）头发长，见识短
（5）名师出高徒
（6）放下屠刀，立地成佛
（7）兔子尾巴长不了
（8）不到长城非好汉
（9）春回大地，万物复苏
（10）海内存知己
（11）蜡炬成灰泪始干
（12）玉不琢，不成器
说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维” 。
三、课堂练习：课本P35 1、2题
补充：判断下列问题中，p是q成立的什么条件？
p q
（1）x2>1 x<-1
（2）|x-2|<3 -x2+4x+5>0
（3）xy≠0 x≠0或y≠0
解：（1）p q，q p （2）p q
（3）p q，q p (原问题 )
2、判别步骤
（1）认清条件和结论。（2）考察p q和q p的真假。
3、判别技巧
（1）可先简化命题。
（2）否定一个命题只要举出一个反例即可。
（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
四、课时小结：
推断符号Þ，
本节课主要研究了三点内容：充分条件的意义 命题充分性、必要性的判断。
必要条件的意义
1、定义：
如果已知p q，则说p是q的充分条件。
如果已知q p，则说p是q的必要条件。
如果既有p q，又有q p，就记作p q，则说p是q的充要条件。
2、从集合角度理解：
①p q，相当于，即 P Q 或 P、Q
即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行。
②q p，相当于，即 Q P 或 P、Q
即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P——缺它不行。
qp等价于。
*③p q，相当于P=Q，即 P 、Q
即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物。
四、课后作业
1.书面作业：课本P36，习题1.8:1（1）、（2）；2：（1）、（2）、（3）。
2、写出生活中有四种关系的名言名句各1句。
3、名句探微——名言名句充要关系之剖析。（500字左右）
4.预习：下节内容，预习提纲：
（1）充分必要条件的意义是什么？
（2）怎样判断命题的充要条件？
五、板书设计
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§1.8.1 充分条件与必要条件
1.推断符号“Þ”的含义。
2.充分条件与必要条件的意义。
小结：（略）
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六、教学后记
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