原题
已知数列{an}各项都是自然数,a1=0,a2=3,且an+1an=(an-1+2)·(an-2+2),n=3,4,5,….(Ⅰ)求a3;(Ⅱ)证明:an=an-2+2,n∈N+,n≥3;(Ⅲ)求{an}的通项公式及前n项和Sn.? (2002年全国高考新课程卷第22题)
解析:∵ an+1an=(an-1+2)(an-2+2),
∴ an-2an+1=(an+2)(an-1+2),两式相比得an/an-2=(an-2+2)/(an+2),即an-2/(an+2)=an/(an-2+2).
∴ 当n为偶数时,n与n+2为偶数,反复迭代有an/(an-2+2)=an-2/(an-4+2)=…=a4/(a2+2)=5/(3+2)=1;
当n为奇数时,n与n+2为奇数,反复迭代有an/(an-2+2)=an-2/(an-4+2)=…=a3/(a1+2)=2/(0+2)=1.
∴ 当n∈N+时,an/(an-2+2)=1,即
an=an-2+2.(n≥3)
关键词:
