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高考解答题中的导数应用

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例1.(历年高空真题)根据函数单调性的定义,证明:f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上为减函数。

  分析:如果去掉证明的要求,本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x20, ∴ f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上为减函数。

  例2.(历年高空真题)甲,乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知:汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a。
  (I)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域;
  (II)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?

  解:(I)(略解)
  (II),令y'=0,得
     当时,是该函数唯一的极值点。
  ∴ 当时,y取得最小值,即全程的运输成本最小。
    当时,而v∈(0,c],所以,此时y'<0,
  ∴ 在v∈(0,c]为减函数,∴ 当v=c时全程运输成本最低。
  综上所述,当时,全程的运输成本最小;当时,v=c全程运输成本最低。

  例3.(历年高空真题)设,求a的值使得f(x)为单调函数。

  解:,要使f(x)在R上为单调函数,需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。
  (1)当f'(x)>0时,即在R上恒成立,
     而当x→∞时,,所以这样的a不存在。
  (2)当f'(x)<0时,即在R上恒成立,而,所以只需a≥1即可。
     ∴ 当a≥1时,f(x)为减函数。
  由上讨论可知,当a>1时f(x)为单调函数。

  例4.(历年高空真题)设计一幅宣传画,要求画面的面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面上下各留8cm空白,左右各留5cm空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用的纸张面积最小?如果要求,那么λ为何值时,能使宣传画所用的纸张最小?

  解:设画面的高为xcm, 宽为λxcm,则
  所以纸张的面积为S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160。
  将代入上式得:
  ,令y'=0得,它是唯一的极值点。
  ∴ 当时,S取得最小值,即当高为88cm,宽为时,能使宣传画所用的纸张最小。
  当时,y'>0,所以,在时为增函数。
  ∴ 当时,能使宣传画所用的纸张面积最小。 高考解答题中的导数应用:的相关文章
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关键词: 导数,求导
编辑:特约讲师