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反函数有关的典型题目总结

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  典型题目一:若函数f(x)的图象过(0,1)点,则f-1(x+4)的图象必过点___________.
  分析:∵f(x)的图象过(0,1)点,∴ f-1(x)的图象过(1,0)点,而f-1(x+4)的图象是把y=f-1(x)的图象向左平移4个单位而得到的,故f-1(x+4)的图象过(-3,0)点.
  典型题目二:函数y=f(x+1)与函数y=f-1(x+1)的图象(  ) .
  A、关于直线y=x对称    B、关于直线y=x+1对称
  C、关于直线y=x-1对称   D、关于直线y=-x对称
  解答:y=f(x+1)与y=f-1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得,∵ y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,y=x向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.
  典型题目三:定义在R上的函数y=f(x)有反函数,则函数y=f(x+a)+b的图象与y=f-1(x+a)+b的图象间的关系是
( ).
  A、关于直线y=x+a+b对称   B、关于直线x=y+a+b对称
  C、关于直线y=x+a-b对称   D、关于直线x=y+a-b对称
  解答:将y=x向左平移a个单位,向上平移b个单位得y=x+a+b,故选A.
  典型题目四:求下列函数的反函数:
  (1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2];
  (2)y=.
  解:(1)∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2],
  ∴ -2≤y≤1且(x+1)2=y+3.
  ∴ x+1=-, y=-1-,
  ∴ 所求反函数y=-1--2≤x≤1.
  (2)若x≤0,则y=x2≥0, x=-.
  若x>0, 则 y=-x-1<-1, x=-y-1.
  ∴ 所求反函数y=.
  评注:求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是
  (1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域.
  (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).
  (3)将x、y交换位置得y=f-1(x).
  (4)求分段函数的反函数,应分别求出各段的反函数,它们联合在一起构成原函数的反函数.
  典型题目五:设y=f(x)是单调函数,求证:f(x)的反函数y=f-1(x)是单调函数,且其增减性与f(x)增减性一致.
  证明:以y=f(x)为增函数时情况加以证明,用反证法.
  设x1<x2, y1=f-1(x1), y2=f-1(x2), 证明y1<y2.
  反之若y1≥y2, 由于f(x)是增函数,∴f(y1)≥f(y2), 而f(y1)=x1, f(y2)=x2,
  ∴x1≥x2与x1<x2矛盾,∴ y1<y2, 即f-1(x)为增函数.当y=f(x)是减函数时,同理可证.  
  典型题目六:设y=f(x)=, y=g(x)的图象与 y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称,求g(3)的值.
  解:由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.
  ∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-1(x+1)的反函数,即它们关于y=x对称.所以g(x)=f(x)-1,
  ∴g(3)=f(3)-1=-1=
  分析:还可以先求出f-1(x),然后求f-1(x+4),然后求出f-1(x+4)的反函数就是y=g(x)的表达式子.
  评注:灵活应用反函数的定义,显得轻盈活泼.
 

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关键词: 反函数
编辑:特约讲师