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高考中的复数应用

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  1.已知z∈C,解方程。  (全国·理)
  本题考查复数相等的条件及解方程的知识。
  解:设,将代入原方程,得:

  ,

  整理得:
  根据复数相等的定义,得:  由(1)得x=-1,
  将x=-1代入(2)式,解得y=0, y=3。 ∴
  2. 已知z=1+i,(1)设 求ω的三角形式;
  (2)如果=1-i,求实数a,b的值。  (全国·理)
  本题考查共轭复数,复数的三角形式等基础知识及运算能力。
  解:(1)由z=1+i,有
  
  (2)由z=1+i,有
  由题设条件知: 根据复数相等的定义,
  得 解得
  说明:本题为94年解答题的第一题,难度系数为0.85,也就是说绝大多数考生都能较好地完成本题。每年解答题第一题都是这样难度等级为“易”的试题,回答此类试题时,一定力争不失分。
  3.设z是虚数, ω=z+是实数,且-1<ω<2。(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
  (2)设u=。求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值。  (96·上海)
  本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算、不等式的知识,以及运算能力和推理能力。
  解:(1)设
  ,
  ∵ ω是实数,b≠0,∴ a2+b2=1,即|z|=1,

  ∵ ω=2a, -1<ω<2,∴z的实部的取值范围是()。
  (2)
  ∵a∈(),b≠0, ∴u为纯虚数。
  (3)ω-u2=2a+=2a-=
  ∵ a∈(), ∴a+1>0。 ∴ ω-u2≥2×2-3=1。

  当a+1=,即a=0时上式取等号。 ∴ω-u2的最小值是1。
  说明:本题是道综合题,(1)和(2)属于基本题。在(3)中不难得到ω-u2=2a-,以后的变化需要一定的技巧,首先使的分子不含字母,=。在得到ω-u2=后,为使用平均值不等式,需将2a-1变形为2(a+1)-3。这样ω-u2=,不难用平均值不等式求得最小值。还需要注意,一定要讨论等号是否能成立。
  4.已知复数, 。复数,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q。证明
ΔOPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)。  (97·全国·理)
  本小题主要考查复数的基本概念,复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力。
  解:[解法一]
  
  因为OP与OQ的夹角为
  因为
  由此知ΔOPQ有两边相等且其夹角为直角,故ΔOPQ为等腰直角三角形。
  [解法2] 因为 所以z3=-i。
  因为, 所以
  于是。由此得OP⊥OQ,|OP|=|OQ|。
  由此知ΔOPQ有两边相等且其夹角为直角,故ΔOPQ为等腰直角三角形。
  说明:本题难度系数为0.71,属“较易”。解法1是根据两复数的辐角差为90°,由复数辐角的定义得
OP⊥OQ。解法2是根据复数除法的几何意义证出OP⊥OQ。本题还可用复平面上两点距离公式和勾股定理逆定理来证明,不过计算量较大。
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关键词: 复数,解方程
编辑:特约讲师