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换元法例题

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换元法规范例题讲解
换元法例题1. 实数x、y满足4x -5xy+4y =5   ( ①式) ,设S=x +y ,求 的值。(93年全国高中数学联赛题)
【换元法例题思路分析】 由S=x +y 联想到cos α+sin α=1,于是进行三角换元,设 代入①式求S 和S 的值。
【换元法思路的解】设 代入①式得:  4S-5S·sinαcosα=5 
解得 S=  ;
∵ -1≤sin2α≤1  ∴  3≤8-5sin2α≤13   ∴

此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α= 的有界性而求,即解不等式:| |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【换元法例题的另解】 由S=x +y ,设x +t,y -t,t∈[- ],
则xy=± 代入①式得:4S±5 =5, 
移项平方整理得  100t +39S -160S+100=0 。
∴  39S -160S+100≤0  解得: ≤S≤

【解答换元法例题的要点】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x +y 与三角公式cos α+sin α=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x +y 而按照均值换元的思路,设x +t、y -t,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a +13b =5  ,求得a ∈[0, ],所以S=(a-b) +(a+b) =2(a +b )= a ∈[ , ],再求 的值。

换元法例题2. △ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B, =- ,求cos 的值。(96年全国理)
【换元法思路分析】 由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得 ;由“A+C=120°”进行均值换元,则设  ,再代入可求cosα即cos
【换元法思路的解】由△ABC中已知A+C=2B,可得 ,
由A+C=120°,设 ,代入已知等式得:
=-2 ,
解得:cosα= ,    即:cos
【换元法思路的另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以 =-
=-2 ,设 =- +m, =- -m ,
所以cosA= ,cosC= ,两式分别相加、相减得:
cosA+cosC=2cos cos =cos
cosA-cosC=-2sin sin =- sin
即:sin =- ,=- ,代入sin +cos =1整理得:3m -16m-12=0,解出m =6,代入cos
【换元法例题的核心】 本题两种解法由“A+C=120°”、“ =-2 ”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以 =- =-2 ,即cosA+cosC=-2 cosAcosC,和积互化得:
2cos cos =- [cos(A+C)+cos(A-C),即cos cos(A-C)= (2cos -1),整理得:4 cos +2cos -3 =0,
解得:cos
换元法例题3. 设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a 的最大值和最小值。
【换元法思路的解】 设sinx+cosx=t,则t∈[- , ],由(sinx+cosx) =1+2sinx·cosx得:sinx·cosx=
∴  f(x)=g(t)=- (t-2a)  (a>0),t∈[- , ]
t=- 时,取最小值:-2a -2 a-
当2a≥ 时,t= ,取最大值:-2a +2 a-   ;
当0<2a≤ 时,t=2a,取最大值:   。   
∴  f(x)的最小值为-2a -2 a- ,最大值为
【换元法例题重点】 此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[- , ])与sinx+cosx对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
换元法思路例4. 设对所于有实数x,不等式x log +2x log +log >0恒成立,求a的取值范围。(87年全国理)
【换元法例题思路分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系?进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。
【换元法例题的解】 设log =t,则log =log =3+log =3-log =3-t,log =2log =-2t,
代入后原不等式简化为(3-t)x +2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以:
,解得    ∴ t<0即log <0
0< <1,解得0<a<1。
【换元法例题总结】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log 、 log 、log 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。另外,本题还要求对数运算十分熟练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。
换元法思路例5. 已知 ,且   (②式),求 的值。
【换元法例题的解】 设 =k,则sinθ=kx,cosθ=ky,且sin θ+cos θ=k (x +y )=1,代入②式得:      即:
=t,则t+  ,   解得:t=3或      ∴ =± 或±
【换元法例题的另解】 由 =tgθ,将等式②两边同时除以 ,再表示成含tgθ的式子:1+tg θ= tg θ,设tg θ=t,则3t —10t+3=0,
∴t=3或 ,    解得 =± 或±
【换元法例题思路的总结】 第一种解法由 而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 ,不难发现进行结果为tgθ,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。
换元法思路例6. 实数x、y满足 =1,若x+y-k>0恒成立,求k的范围。
【换元法例题的分析】由已知条件 =1,可以发现它与a +b =1有相似之处,于是实施三角换元。
【换元法例题的解】由 =1,设 =cosθ, =sinθ,
即:   代入不等式x+y-k>0得:
3cosθ+4sinθ-k>0,即k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ)
 所以k<-5时不等式恒成立。
【换元法例题的总结】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式ax+by+c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上x+y-k>0的区域。即当直线x+y-k=0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组 有相等的一组实数解,消元后由△=0可求得k=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。

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关键词: 例题,法,换元
编辑:特约讲师