参数方程化普通方程
1．把参数方程化为普通方程(1)
(θ∈R，θ为参数)
解:∵ y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴ y=3-2x2,
又∵ |sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴ |x|≤1, 1≤y≤3,
∴ 所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3)
(2)
(θ∈R，θ为参数）
解:∵ x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴ x2=1+2y。
又∵ x=sinθ+cosθ=
sin(θ+
) y=sinθcosθ=
sin2θ
∴ |x|≤，|y|≤。 ∴ 所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤)
小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
(3)
(t≠1, t为参数)
法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。
x+y=
=1, 又x=
-1≠-1，y=
≠2,
∴ 所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。
法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=
, ∴x+xt=1-t,
∴ (x+1)t=1-x，即t=
代入 y=
=1-x，∴ x+y=1，（其余略）
这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
(4)
(t为参数)
分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法:
法一:x=
-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴ 0<
≤1, ∴-1<
-1≤1, ∴-1<x≤1。
法二:解得t2=
≥0, ∴ -1<x≤1,同理可得出y的范围。
(5) 
(t为参数)
分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。
由x=
得x2=≥0, ∴-1<x≤1,由y=
, t=0时，y=0；
t≠0时，|y|=
≤
=1，从而|y|≤1。
法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，
x2+y2=()2+()2=
=
=1。
法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单
由x=得t2=，代入y=
=t(1+x)
∴t=
再代入x=
，化简得x2+y2=1。
法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象
可令t=tgθ，θ∈(-
)，∴x=
=cos2θ, y=
=sin2θ,
∴ x2+y2=1，又2θ∈(-
,)，∴ -1<x=cos2θ≤1, -1≤y=sin2θ≤1,所求方程为x2+y2=1(x≠-1)。
2．已知圆锥曲线方程是
1）若t为参数，φ为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。
2）若φ为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。
解:1）由已知
， 由(1) 得t=
代入(2)
y-4sinφ+5=-6·
(x-5cosφ-1)2=-
(y-4sinφ+5)
为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=
。
2）由已知
∴ 
=1，
表示中心在(3t+1, -6t2-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3，∴ e=
。
分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。
3．抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。
解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)
∴ k2x2-4px-4p2=0, 若A，B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则
∴ xM=
, yM=
,
∵ AB⊥CD,∴ CD方程为y=-
x，代入y2=4p(x+p)，
∴ 
x2-4px-4p2=0，设C(x3, y3),D(x4,y4)
∴ N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为
y2=p2(+k2-2)=p2(
-2)=p(x-2p)
x=p(k2+)≥p·2
=2p，而y∈R在方程中都已体现，
∴ 轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。
说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程
θ∈[0,π]，是个圆，但消参之后得x2+y2=1(|x|≤1, |y|≤1)却无法说明这一点。
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